sábado, 25 de junio de 2011

"APLICACION DE MATEMATICAS DISCRETAS"-203-

                                      "CLASIFICACION POR TIPO DE RELACIONES"
En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados,  (a,b)\in A \times B

   R = 
   \{
      (a,b): \; a \in A \quad \land \quad
      b \in B  \quad \land \quad
      R(a,b) = \mbox{cierto}
   \}
Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria R\,:

   a \mathcal{R} b
   \qquad \mbox{o} \qquad
   R(a,b)
   \qquad \mbox{o bien} \qquad
   (a,b) \in R
También puede expresarse:

   \mathcal{R} \; a \; b
En notación polaca

PROPIEDADES:
Propiedades de las relaciones binarias homogénea
Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:
 Relación reflexiva
 
 
Una relación se llama reflexiva si todo elemento esta relacionado con sigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R
Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.
Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \notin R
No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

 Relación irreflexiva
 
Una relación binaria es irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:

   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R
Que también puede expresarse

   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \in R
No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

 Relación simétrica
 
Una relación binaria es simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:

   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R
Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \notin R
No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R.

Relación antisimétrica
 
Una relación binaria se dice que es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:

   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a = b
Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b este relacionado con a

   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \in R
   \quad \land \quad
   a \ne b
 
Relación transitiva
 
Una relación binaria es transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a esta relacionado con c:

   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R